1. 리만 적분(Riemann Integral):

닫힌구간에 정의된 실수값 함수의 적분 종류. $\int_0^T f(t)dt$ 형태로 표현되며, 곡선 아래의 면적을 구하기 위해 세로로 잘게 쪼갠 직사각형들의 합을 구하고, 그 극한을 취하는 방식.

핵심 정의(리만 합, Riemann Sum)

구간 $[0, T]$ 를 N개로 쪼개고( $\Delta t$ ), 각 구간에서 함숫값(높이)을 하나 골라 더함.

$$ \int_0^T f(t) dt \approx \sum_{i=0}^{N-1} f(t_i^*) \Delta t $$

여기서 $t_i^*$ 은 i번째 구간 $[t_i, t_{i+1}]$ 사이의 아무 점임.

Q. 구간을 쪼개고 각 구간에서의 함수값과 변화량의 곱을 전부 더한다는 의미가 곡선 아래 무한한 직사각형의 넓이를 더한다는 의미인가?

A. 정확함.

$\sum f(x_i) \Delta x$ 라는 식을 뜯어보면:

$\Delta x$ : 구간의 길이(가로)

$f(x\_i)$ : 그 구간에서의 함숫값(세로)

곱( $f(x_i) \Delta x$ ): 직사각형 하나의 넓이

이때 구간(가로)의 너비 $\Delta x$ 를 0으로 보내면 직사각형들이 곡선 아래의 공간을 빈틈없이 채움. 이것이 적분값이라고 부르는 곡선 아래의 면적임.

일반 미적분학의 대전제

함수 $f(t)$ 가 매끄러운(Smooth) 일반적인 함수라면, 높이를 잴 때 왼쪽 끝점( $t_i$ )을 쓰든, 오른쪽 끝점( $t_{i+1}$ )을 쓰든, 중간점( $\frac{t_i+t_{i+1}}{2}$ )을 쓰든 상관없음.

  • $\Delta t \rightarrow 0$ 극한을 취하면, 모두 같은 값으로 수렴함.
  • 함수가 연속이고 부드러워서, 아주 짧은 구간 안에서 왼쪽 값이나 오른쪽 값이나이나 별 차이가 없기 때문임.( $f(t_i) \approx f(t_{i+1})$ ).
  • SDE의 위너 과정 $W(t)$ 는 진동이 심해서(미분 불가능하므로), 왼쪽 끝점을 쓰느냐(이토 적분) 중간점을 쓰느냐(스트라토노비치 적분)에 따라 적분 결과가 완전히 달라짐.

Q. 일반 미적분학에서 아주 짧은 구간 안에서 왼쪽 값과 오른쪽같의 차이가 없다는 의미가 좌극한과 우극한과 동일하다는 의미인가?

A. 비슷하지만 엄밀히 말하면 함수의 연속성을 의미함.

연속성: 끊어지지 않고 이어진 함수에서는, 아주 짧은 구간 안에서 함수값이 급격하게 튀지 않음.(립시츠 연속성

리만 적분의 관점: 위 연속성을 만족하는 함수에서 $\Delta x$ 이 매우 작아지면, 해당 구간의 왼쪽 끝점과 오른쪽 끝점의 차이가 거의 없어짐. $\lim_{\Delta x \to 0} \vert f(x_i) - f(x_{i+1})\vert = 0$

2. 연쇄 법칙과 테일러 급수:

일반 미적분학에서 $y=f(x)$ 이고 $x$ 가 변할 때 $y$ 의 변화량 $dy$ 를 구하는 과정임.

테일러 급수 전개:

함수 $f(x)$ 의 변화량을 근사하면 다음과 같음.

$$ \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) \approx f'(x)\Delta x + \frac{1}{2}f''(x)(\Delta x)^2 + \cdots $$

일반 미적분학의 대전제

우리는 미분 $dy$ 을 정의할 때, 1차항( $\Delta x$ )만 남기고 2차항 이상( $(\Delta x)^2, (\Delta x)^3 \dots$ )은 버림.

$$ dy = f'(x)dx $$
  • $\Delta x$ 가 아주 작을 때(0.001), $(\Delta x)^2$ 은 더욱 작아서 무시해도 오차가 없기 때문임.( $dx\cdot dx = 0$ )
  • SDE에서는 노이즈 $dW$ 가 꽤 큼.( $\sqrt{dt}$ ). 그래서 $(dW)^2$ 은 $dt$ 크기가 되어 무시할 수 없음. ( $dW \cdot dW = dt \neq 0$ ) 따라서 이토 미적분에서는 연쇄 법칙 공식 뒤에 보정항(2차항)이 뒤에 붙음.

Q. 함수 f(x)의 변화량을 근사할 때 어떻게 테일러 급수로 유도되는가?

A. 테일러 급수는 어떤 함수를 다항식의 합으로 표현하는 방법임. x에서 아주 조금 떨어진 $x + \Delta x$ 지점의 함숫값은 다음과 같이 전개됨.

$$ f(x + \Delta x) = f(x) + \frac{f'(x)}{1!} \Delta x + \frac{f''(x)}{2!} (\Delta x)^2 + \frac{f'''(x)}{3!} (\Delta x)^3 + \cdots $$

여기서 변화량 $\Delta f (= f(x+\Delta x) - f(x))$ 를 구하기 위해 $f(x)$ 를 좌변으로 이항하면:

$$ \Delta f = f'(x)\Delta x + \frac{1}{2}f''(x)(\Delta x)^2 + \cdots $$

흔히 사용하는 미분 근사식 $\Delta f \approx f’(x)\Delta x$ 는 바로 이 식에서 2차 이상의 항들을 너무 작다고 보고 잘라냄.

Q. 미분 dy를 정의할 때 $\Delta x$ 가 큰 경우가 있는가? 만약 있다면 이때 테일러급수에서 2차항 이상을 무시할 수 없는가?

A. $\Delta x$ 가 큰경우는 변화를 관찰하는 구간을 크게 잡으면 $\Delta x$ 도 커짐.

$\Delta x$ 가 커지면 $(\Delta x)^2$ 은 더 커질 수 있으므로 이 경우에서 2차항 이상을 무시할 수 없음. 근사식 $\Delta y \approx f’(x)\Delta x$ 를 쓰면 오차가 너무 커져서 틀린 값이 나옴.

수학에서 미분 $dy$ 을 정의할 때 항상 $\Delta x \rightarrow 0$ 인 극한 상황을 전제로 함. 이러한 극한일 때만 곡선을 직선으로(접선으로)근사하는 것이 유효하여 2차항 이상을 0으로 취급하여 무시할 수 있음.

SDE에서는 시간을 아주 잘게 쪼개서 $\Delta t \rightarrow 0$ 으로 보내는 상황임에도 불구하고, 노이즈 항( $\Delta W$ )의 특성때문에 $(\Delta W)^2$ 이 0으로 사라지지 않고 살아남음. 그래서 SDE에서는 테일러 전개의 2차항을 무시할 수 없음.

일반 미적분학의 두가지 성격

  1. 적분: 직사각형 높이를 어디서 재든 결과는 같음.(매끄러움)
  2. 미분: 변화량의 제곱( $(dx)^2$ )은 0으로 취급해도 됨.

Q. 일반 적분이 리만 적분을 의미하는가?

A. 고등학교나 대학교 미적분학 기초에서 배우는 $\int$ 기호는 리만적분을 의미함. 심화과정에서 르베그 적분같은 더 일반화된 적분도 배우지만, 현재(SDE를 이해하기 위함)는 일반 적분 = 리만 적분이라고 생각해도 무방함.