로그는 지수 함수의 역함수이다. 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑을 몇 번 거듭제곱해야 하는지를 나타낸다.
정의는 다음과 같다.
$$
\log_a(b) = c \iff a^c = b
$$
밑이 $a > 0$ , $a \neq 1$ 이고, 진수가 $x > 0$ , $y > 0$ 일 때, $\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)$ 가 성립함을 지수 법칙을 통해 증명가능하다.
$\to$ 로그는 지수함수 $f(x) = a^x$ 의 역함수인데 만약 $a < 0$ 일 경우, 지수 $x$ 가 특정한 실수(예: 분모가 짝수인 분수)일 때 함숫값으로 허수가 유도된다.
$$
(-2)^{1/2} = \sqrt{-2} = \sqrt{2}i
$$
지수함수가 실수 전체의 정의역에서 연속적인 실수 함숫값을 갖도록 보장하기 위해 밑을 양수로 제한한다.
$\to$ $a = 1$ 일 경우, 지수함수는 $f(x) = 1^x = 1$ 형태의 상수함수가 된다. 상수함수는 일대일 대응 함수가 아니므로 역함수가 존재하지 않는다. 로그함수는 지수함수의 역함수로서 정의되므로, 역함수 성립 요건을 충족하기 위해 밑을 $a \neq 1$ 로 전제한다.
밑이 양수인 $a$ 를 임의의 실수 $m$ 번 거듭제곱한 결과는 항상 양수이므로 진수는 항상 0보다 크다.
두 개의 로그를 각각 $m$ 과 $n$ 으로 치환한다.
$$
m = \log_a(x)
$$
$$
n = \log_a(y)
$$
두 식은 로그의 정의에 따라 지수 형태로 변환 가능하다.
$$
x = a^m
$$
$$
y = a^n
$$
두 변수를 곱하면
$$
xy = a^m \cdot a^n
$$
$$
= a^{m+n}
$$
이를 다시 로그 형태로 변환하면
$$
\log_a(xy) = m + n
$$
$$
\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)
$$