왜 제곱의 ‘근’인가?

수학에서 방정식의 근(Root) 또는 해는 등식을 성립시키는 미지수의 값이다. 예를 들어, 방정식 $x^2 - 1 = 0$ 의 근은 $x=1$ 과 $x=-1$ 이다.

어떤 실수 $x$ 를 제곱하여 실수 $a$ 가 될 때, 즉 다음 방정식을 만족하는 $x$ 를 $a$ 의 제곱근이라 정의한다.

이 식의 의미를 기하학적 관점과 대수적 관점으로 분리하여 정의할 수 있다.

1. 기하학적 관점 (Square Root)

식 (1)은 넓이가 $a$ 인 정사각형의 한 변의 길이가 $x$ 임을 의미한다.

중세 라틴어 수학 문헌은 이 변의 길이를 도형의 면적이 파생되는 기반이라는 의미로 Radix(뿌리)라 명명했다. 정사각형(Square) 면적을 구성하는 기반 길이(Root)이므로 Square Root로 지칭되며, 한자어 역시 근본을 의미하는 뿌리 근(根)을 사용한다. 연산 기호 $\sqrt{}$ 는 Radix의 첫 글자 r의 형태를 변형한 것이다.

2. 대수적 관점 (방정식의 근)

식 (1)의 양변에 $-a$ 를 더하여 식을 변형한다.

함수 $f(x) = 0$ 을 만족하는 $x$ 의 값을 방정식의 근이라 정의한다. 해당 이차방정식을 성립시키는 해 $x$ 는 제곱 방정식의 근이며, 이를 축약하여 제곱근이라 지칭한다.

제곱근은 기호 $\sqrt{}$ 외에도 거듭제곱의 지수를 유리수 범위로 확장하여 $a^{\frac{1}{2}}$ 로 표기할 수 있다. 지수법칙에 의해 다음과 같이 계산된다.

참고
wikipedia