변수 $x$ 와 $y$ 를 가지는 함수 $u(x, y)$ 의 미소 변화량인 전미분(Total Differential)은 다음과 같이 정의된다.

이 식에서 $du = 0$ 이 된다는 것은, $x$ 와 $y$ 가 변하더라도 함수 $u$ 의 높이(결과값)가 변하지 않는다는 뜻이다. 즉, $u(x, y) = C$ (상수)를 만족하는 등위선 상에 점들이 존재함을 의미한다. 이를 일반적인 미분방정식의 꼴로 치환하면 다음과 같다.

( $M = \frac{\partial u}{\partial x}$ , $N = \frac{\partial u}{\partial y}$ )

위 형태의 방정식을 풀기 위해 역으로 $M$ 과 $N$ 을 각각 편적분하여 본래의 함수 $u(x, y)$ 를 복원해야 한다.
$M$ 을 $x$ 에 대해 편적분할 때, $y$ 로만 이루어진 항은 $x$ 에 대한 편미분 과정에서 0이 되어 소실되었을 수 있으므로 적분 결과에 미지의 함수 $p(y)$ 를 추가해야 한다. 마찬가지로 $N$ 을 $y$ 에 대해 편적분할 때는, $x$ 로만 이루어진 항이 소실되었을 수 있으므로 미지의 함수 $q(x)$ 를 추가해야 한다.
이후 두 적분 식을 비교하여 $p(y)$ 와 $q(x)$ 를 찾아내어 일치하는 단일 함수 $u(x, y)$ 를 구성하고, $u(x, y) = C$ 형태로 미분방정식의 해를 도출한다.

모든 $M dx + N dy = 0$ 형태의 미분방정식이 위와 같은 방법으로 풀리는 것은 아니다. 주어진 식이 실제로 단일 함수 $u$ 에서 파생된 ‘완전미분방정식’인지 확인하려면 다음 조건이 만족되어야 한다.

이는 기하학적으로 3차원 그래프상에서 특정지점으로부터 $x$ 방향으로 먼저 이동한 뒤 $y$ 방향으로 이동했을 때의 높이와, $y$ 방향으로 먼저 이동한 뒤 $x$ 방향으로 이동했을 때의 높이가 서로 같음을 뜻한다. 만약 다르다면, 하나의 좌표 $(x, y)$ 에 두 개의 서로 다른 함수값이 존재한다는 것은 모순이므로 이러한 경우에는 연속적인 곡면을 형성하는 함수 $u$ 가 애초에 존재할 수 없게 된다.