적분(integral)은 정의된 함수의 그래프와 그 구간으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 것이다.
리만 적분에서 다루는 고전적인 정의에 따르면, 실수의 척도를 사용하여 측도 공간에 나타낼 수 있는 연속인 함수 f(x)에 대하여 그 함수의 정의역의 부분 집합을 이루는 구간 [a,b]에 대응하는 치역으로 이루어진 곡선의 리만 합의 극한을 구하는 것이다. 이를 정적분(definite integral)이라 한다. 구간 [a,b]에 대하여 $f(x) \ge 0$ 이면 적분은 곡선의 면적과 동일하다. 그러나, 구간 가운데 일부가 음수인 치역을 갖는다면 적분 값은 서로 상쇄되어 곡선이 이루는 면적과 다를 수 있다.(때문에 적분을 “부호 있는 넓이를 잰다”고 한다)

어떤 변화율(e.g., 속도)이 주어졌을 때 그 값들의 연속적인 누적 총량(e.g., 변위)을 구하려는 대수적 목적은, 기하학적으로 속도 함수 아래의 면적을 구하는 과정과 완벽하게 동치이다.
이 과정을 근사와 극한으로 확인해보자. 함수의 특정 구간에서 곡선 아래의 면적을 구하기 위해, 해당 구간을 매우 작은 너비 $dt$ 를 가진 무수히 많은 직사각형으로 분할한다.
어떤 시간에 따른 속도 함수 $v(t)$ 가 주어졌을 때, 아주 짧은 시간 $dt$ 동안의 변위는 $v(t)dt$ 로 근사할 수 있으며, 이는 그래프 상에서 얇은 직사각형의 넓이와 같다. 분할하는 너비 $dt$ 가 $0$ 에 한없이 가까워질수록 이 직사각형들의 총합은 곡선 아래의 실제 면적에 완벽하게 수렴하게 된다.
이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

적분 구간의 상한을 고정된 상수가 아닌 변수 $T$ 로 설정하여, 시작점부터 $T$ 까지의 면적을 나타내는 새로운 함수 $s(T)$ 를 정의한다.
이 면적 함수 $s(T)$ 에서 입력값 $T$ 가 아주 미세한 $dT$ 만큼 증가할 때, 추가되는 면적 $ds$ 는 높이가 $v(T)$ 이고 밑변이 $dT$ 인 얇은 직사각형의 넓이로 근사된다.

양변을 $dT$ 로 나누고, 극한의 논리를 적용하여 $dT \to 0$ 으로 한없이 접근시키면, 오차는 완전히 사라져 다음과 같은 대수적 관계가 성립한다.

즉, ‘면적 함수의 도함수는 곧 원래의 함수(피적분함수)’라는 결론(적분은 미분의 역연산)이 도출된다. 따라서 면적 함수 $s(T)$ 는 $v(T)$ 를 미분하기 전의 상태, 즉 역도함수(Antiderivative) 중 하나가 된다.

$v(T)$ 의 일반적인 역도함수를 $F(T)$ 라고 하면, 면적 함수 $s(T)$ 는 미분하면 $0$ 이 되어 사라지는 임의의 상수항(적분 상수) $C$ 만큼의 차이를 가질 수 있다.

여기서 $C$ 를 확정하기 위해 자명한 기하학적 초기 조건을 대입해보자. 적분 구간이 시작점인 $0$ 부터 $0$ 까지라면, 너비가 존재하지 않으므로 면적은 수학적으로 $0$ 이어야 한다. 즉, $s(0) = 0$ 이다.

이를 원래 식에 대입하면, $0$ 부터 $T$ 까지의 면적 함수는 적분 상수 없이 다음과 같이 특정된다.

이제 이를 시작점이 $0$ 이 아닌 임의의 구간 $[a, b]$ 에 대한 정적분으로 확장해보자. 함수 $f(x)$ 의 $a$ 부터 $b$ 까지의 면적은, 전체 면적( $0$ 부터 $b$ )에서 불필요한 앞부분의 면적( $0$ 부터 $a$ )을 빼는 대수적 연산으로 도출할 수 있다.

앞서 도출한 $s(T) = F(T) - F(0)$ 식을 여기에 대입하면 다음이 성립한다.

$F(0)$ 항이 상쇄되면서 최종적으로 매우 간결한 수식만 남게 된다.

무한히 많은 얇은 직사각형의 합을 구하는 복잡한 극한 연산이, 단지 역도함수를 구하여 양 끝값을 대입한 뒤 빼는 간단한 연산으로 귀결된다. 이것이 적분의 계산을 획기적으로 가능하게 만든 미적분학의 기본정리의 완전한 수학적 논리 구조이다.

또한 적분은 무한한 연속 값의 평균을 구할때도 사용된다. 연속적인 값의 평균이라니. 이는 무한대를 더하고 무한대로 나누는 꼴( $\frac{\infty}{\infty}$ )이다. 이를 대수적으로 타당하게 해결하기 위해 유한한 표본 추출에서부터 극한으로 나아가며 방식을 취해보자.
구간의 길이를 $L$ 이라 하고, 아주 작은 일정한 간격 $dx$ 마다 점을 찍어 함수값(높이)들을 추출한다고 가정해 보자. 이때 추출되는 표본의 총 개수는 구간의 길이를 간격으로 나눈 $\frac{L}{dx}$ 이 된다.
이 유한한 표본들의 평균을 구하는 식은 다음과 같이 전개된다.

여기서 분자에 있는 $\sum f(x)dx$ 는 밑변이 $dx$ 이고 높이가 $f(x)$ 인 무수히 많은 얇은 직사각형들의 넓이 합, 즉 구간 내의 ‘전체 면적’을 의미한다. 이제 극한 기호를 도입하여 $dx$ 를 $0$ 으로 한없이 접근시키면, 오차가 사라지며 연속 함수의 완벽한 평균값 공식이 적분을 통해 유도된다.

즉, 기하학적으로 어떤 구간에서 곡선의 ‘평균 높이’는 ‘곡선 아래의 전체 면적을 구간의 밑변 길이로 나눈 값’과 같다.

위 식의 분자를 다시 보자. $\int_{a}^{b} f(x) dx$ 는 앞서 증명했듯이, $f(x)$ 의 역도함수인 $F(x)$ 의 양 끝값의 차이인 $F(b) - F(a)$ 로 계산할 수 있다. 따라서 위 식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

여기서 우변은 좌표평면 위에서 $(a, F(a))$ 와 $(b, F(b))$ 를 직접 연결한 ‘할선의 기울기(평균 변화율)’이다. 연속된 함수값들의 무한한 합(적분)을 구하는 문제가, 역도함수 그래프 상의 단 두 점을 연결한 기울기를 구하는 문제로 바뀐 것이다.

결론적으로 다음 두 명제가 동일함을 증명한다.

• 원래 함수 $f(x)$ 그래프의 $a$ 부터 $b$ 까지의 ‘평균 높이’
• 역도함수 $F(x)$ 그래프에서 두 점 $a$ 와 $b$ 를 이은 ‘할선의 기울기’(또는 구간 내 모든 접선의 평균 기울기)
  이것이 직관적으로 타당한 이유는 미분의 정의 그 자체에 있다. $f(x)$ 는 애초에 $F(x)$ 를 미분한 도함수이므로, $f(x)$ 의 각 높이들은 $F(x)$ 그래프가 가진 무수히 많은 ‘순간의 접선 기울기(순간변화율, 미분계수)’들을 의미한다.
  따라서, 그 무수히 많은 접선 기울기( $f(x)$ )들을 전부 모아서 평균을 내면, 당연히 출발점과 도착점을 직선으로 연결한 전체 구간의 평균 기울기( $\frac{F(b)-F(a)}{b-a}$ , 평균변화율)와 같아져야 한다는 인과관계가 성립한다.

실제로 역도함수가 존재하지만 수식으로 다루기 힘든 상황에서는 어떻게 적분하는가?
다변수함수 혹은 3차 이상의 함수에서는 적분이 어떻게 정의되는가? 2차 함수의 개념이 일반화될 수 있는가?

적분해야 하는 차원이 매우 높아지거나 함수가 매우 복잡할 때, 기하학적 분할 대신 무작위 표본 추출을 사용하여 적분값을 추정할 수 있다.
먼저 함수를 둘러싸는 거대한 직사각형 공간을 정의하고 면적을 구한다. 그 공간 안에 수만 개의 점을 무작위로 흩뿌린 다음 전체 점의 개수 대비, 곡선 아래쪽에 찍힌 점들의 비율을 계산한다. (전체 공간 면적 $\times$ 곡선 아래 점의 비율)을 계산하면, 대수의 법칙에 의해 이 값이 점차 실제 적분 면적으로 수렴한다.

참고
wikipedia
3blue1brown. Integration and the fundamental theorem of calculus | Chapter 8, Essence of calculus / What does area have to do with slope? | Chapter 9, Essence of calculus