지수함수의 미분과 비례 상수

지수함수 $a^t$ (예: $2^t$ )의 도함수를 구하기 위해 미분의 기본 정의를 사용한다. 시간 $t$ 에서의 미세한 변화량 $dt$ 에 대한 평균 변화율의 극한을 취하면 다음과 같이 전개된다.

$$ \frac{d}{dt}(a^t) = \lim_{dt \to 0} \frac{a^{t+dt} - a^t}{dt} $$

지수 법칙에 의해 $a^{t+dt} = a^t \cdot a^dt$ 이므로, $a^t$ 를 공통 인수로 묶어낼 수 있다.

$$ \frac{d}{dt}(a^t) = a^t \lim_{dt \to 0} \frac{a^{dt} - 1}{dt} $$

(여기서 $a^t$ 가 극한 기호 밖으로 나올 수 있는 이유는 극한의 변수가 $dt$ 이고 $t$ 는 극한 내에서 상수로 취급되기 때문이다.)
결과적으로 지수함수 $a^t$ 의 도함수는 자기 자신인 $a^t$ 에 특정 극한값을 곱한 형태가 된다. 즉, 지수함수의 변화율은 자기 자신의 크기에 비례한다. 곱해지는 극한값은 다음과 같다.

$$ \lim_{dt \to 0} \frac{a^{dt} - 1}{dt} $$

$a=2$ 일 때 이 (비례)상수는 약 $0.6931$ 이고, $a=3$ 일 때는 약 $1.0986$ 이 된다.

오일러 상수 $e$ 의 정의

앞서 확인한 비례 상수가 정확히 $1$ 이 되는 특정한 밑(base)이 존재할까 하는 수학적 질문에서 오일러 상수 $e$ 가 등장한다. $e$ 는 대략 $2.71828$ 의 값을 가지며, 다음 극한식을 만족하는 유일한 수로 정의된다.

$$ \lim_{dt \to 0} \frac{e^{dt} - 1}{dt} = 1 $$

따라서 밑이 $e$ 인 지수함수 $e^t$ 를 미분하면 비례 상수가 $1$ 이 되어 도함수가 자기 자신과 완전히 같아진다.

$$ \frac{d}{dt}(e^t) = e^t $$

기하학적으로 이는 함수 $y = e^t$ 의 그래프 위 임의의 점에서의 접선 기울기가 해당 점의 $y$ 좌표 값과 정확히 일치함을 의미한다.

또한 오일러 상수(자연상수) e는 다음과 같이 극한을 통해 정의할 수 있다.

$$ e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $$

1년의 100%의 수익률을 주는 상품을 가정해보자.

  • 1년에 한 번 100% 이자를 받으면 $1$ 원이 $(1+1)^1 = 2$ 원이 된다.
  • 1년에 두 번 50%씩 이자를 받으면 $(1+1/2)^2 = 2.25$ 원이 된다.
  • 1년에 세 번 33.3%씩 이자를 받으면 $(1 + 1/3)^3 \approx 2.37$ 원이 된다.
    이자를 주는 횟수 $n$ 을 무한대로 쪼개어, 매 순간 아주 미세한 이자를 연속적으로 계속 복리로 더해나갈 때 도달하는 성장의 극한값이 바로 약 $2.718$ 이라는 상수 $e$ 이다. 즉, $e$ 는 주어진 시간 동안 100%의 비율로 쉬지 않고 연속 성장했을 때 도달하는 최대치를 의미한다.

연쇄 법칙과 임의의 지수함수 미분

$e$ 의 특별한 성질과 합성함수의 미분법인 연쇄 법칙을 결합하면, 임의의 상수 $c$ 에 대해 $e^{ct}$ 의 도함수를 쉽게 구할 수 있다. 겉함수 $e^x$ 의 미분은 자기 자신이고, 속함수 $ct$ 의 미분은 $c$ 이므로 결과는 다음과 같다.

$$ \frac{d}{dt}(e^{ct}) = \frac{d(e^{ct})}{d(ct)} \cdot \frac{d(ct)}{dt} = e^{ct} \cdot c $$

이 원리를 이용하면 앞서 구했던 미지의 비례 상수들의 정체를 명확히 밝힐 수 있다. 임의의 양수 $a$ 는 자연로그의 정의에 의해 $a = e^{\ln a}$ 로 표기할 수 있다. 이를 지수함수에 대입하면 $a^t = e^{(\ln a)t}$ 가 되는데 이 식을 $t$ 에 대해 미분하면 다음과 같다.

$$ \frac{d}{dt}(a^t) = \frac{d}{dt}(e^{(\ln a)t}) = \ln a \cdot e^{(\ln a)t} = \ln a \cdot a^t $$

( $e^{(\ln a)t = a^t}$ 임을 기억하자.)
따라서 앞서 극한으로 유도했단 비례 상수 식이 자연로그 $\ln a$ 와 수학적으로 일치한다.

$$ \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = \ln a $$

( $2^t$ 의 미분 시 등장했던 상수 $0.6931$ 은 $\ln 2$ 의 수학적 값이다.)

미분방정식에서의 $e$ 의 역할

물리학, 생물학, 경제학 등 다양한 분야에서 관찰되는 시스템은 ‘현재의 양이 변화율에 비례하는’ 특성을 가진다. 이를 미분방정식으로 표현하면 다음과 같다.

$$ \frac{dy}{dt} = k \cdot y $$

이 방정식의 해는 $y(t) = y_0 e^{kt}$ 의 형태로 주어진다. 비록 $2^t$ 나 $3^t$ 같은 다른 밑을 사용해서도 이 해를 표현할 수 있지만, 밑을 $e$ 로 고정하고 지수에 비례 상수 $k$ 를 명시하는 방식을 표준으로 삼는다. 이렇게 표기할 때, 지수 부분의 상수 $k$ 자체가 해당 시스템의 고유한 변화율이라는 명확한 수학적 의미를 갖기 때문이다.

결론적으로 오일러 상수 $e$ 가 단순한 무리수를 넘어, 변화율이 자기 자신에 비례하는 모든 수학적 현상을 해석하는 가장 강력한 기준이 됨을 논리적으로 증명하고 있다.

어떤 지수함수를 밑이 e로 표기했을 때 \(\frac{d(e^{kt})}{dt}\)에서 유도되는 비례 상수 k는 k가 변화하는 변수의 크기와 변화율 사이의 비례 상수와 같다는 의미를 가진다.

미분 방정식 $\frac{dy}{dx} = y$ 를 만족하는(즉, 미분값이 자기 자신과 같아지는 함수) 어떤 함수 $y$ 가 $e^x$ 여야 하는지 미분의 정의를 통해 역추적할 수 있다. $y = f(x)$ 라 할 때 도함수의 정의는 다음과 같다.

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

만약 $f’(x) = f(x)$ 라면, 식은 다음과 같이 전개된다.

$$ f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

극한을 잠시 무시하고, 간격 $h$ 가 1, 0.5, 0.00001 등으로 작아질 때 식의 형태가 어떻게 변하는지 관찰해보자.

  • $h = 1$ 일 때: $f(x) = f(x+1) - f(x) \implies f(x+1) = 2f(x)$
  • $h = 0.5$ 일 때: $f(x) = \frac{f(x+0.5) - f(x)}{0.5} \implies f(x+0.5) = 1.5f(x)$
  • $h = 0.00001$ 일 때: $f(x+0.00001) = 1.00001f(x)$
    이 전개 과정이 의미하는 바는 다음 스텝( $x+h$ )의 값이 현재 스텝( $x$ )의 값에 $(1+h)$ 배만큼 곱해진다는 것이다. $h$ 가 극단적으로 작아진다는 것은, 매 순간 자신의 현재 크기에 아주 미세한 비율만큼을 계속해서 더해나가는 ‘연속 성장’의 과정과 완벽히 일치한다. 따라서 도함수가 자기 자신인 함수는 본질적으로 연속 성장의 함수여야 한다.

그렇다면 연속 성장을 의미하는 $\frac{dy}{dx} = y$ 를 만족하는 함수 $y$ 는 구체적으로 어떤 형태인가. 이는 미분방정식의 변수를 분리하여 유도할 수 있다.
먼저 식의 양변을 $y$ 로 나누고 $dx$ 를 곱해 변수를 분리한다.

$$ \frac{1}{y} dy = 1 dx $$

양변을 적분( $\int$ )하면:

$$ \int \frac{1}{y} dy = \int 1 dx $$

$\frac{1}{y}$ 의 적분은 $\ln y$ (자연로그)이고, $1$ 의 적분은 $x$ 이다.

$$ \ln y = x + C $$

(초기값 $x=0$ 일 때 $y=1$ 로 가정하면 적분상수 $C=0$ )
로그의 정의에 의해 이를 지수 형태로 변환한다.

$$ y = e^x $$

결론적으로 미분값이 자기 자신과 같아지는 함수 y에 대해 미분방정식 $\frac{dy}{dx} = y$ 을 수학적으로 적분하여 풀어내면, 자연로그의 역함수로서 필연적으로 밑이 $e$ 인 지수함수 $y = e^x$ 가 유도됨을 확인할 수 있다.

참고
3Blue1Brown. What’s so special about Euler’s number e? | Chapter 5, Essence of calculus
공돌이의 수학정리노트