정의 2.25 (아핀 부분공간, Affine Subspace). $V$ 를 벡터 공간, $x_0 \in V$ , 그리고 $U \subseteq V$ 를 부분공간이라고 하자. 그러면 다음의 부분집합

은 $V$ 의 아핀 부분공간 또는 선형 다양체(linear manifold)라고 불린다. $U$ 는 방향(direction) 또는 방향 공간(direction space)이라 불리고, $\boldsymbol{x}_0$ 는 지지점(support point)이라 불린다. 12장에서, 우리는 이러한 부분공간을 초평면(hyperplane)이라고 부를 것이다.

$\to$ 아핀 부분공간도 전체적으로 linear하다. subspace 대신 manifold로 불리는 이유는, 선형대수에서 subspace란 반드시 원점을 포함하는 공간으로 정의되는데 아핀 부분공간은 원점을 포함하지 않기 때문에 원점 조건이 없는 더 일반적인 공간을 칭하기 때문에 manifold라고 한다.

예제 2.26 (아핀 부분공간)

• $\mathbb{R}^n$ 의 1차원 아핀 부분공간은 직선(lines)이라 불리며 다음과 같이 쓸 수 있다: $\boldsymbol{y} = \boldsymbol{x}_0 + \lambda \boldsymbol{b}_1$ , 여기서 $\lambda \in \mathbb{R}$ 이고 $U = \text{span}[\boldsymbol{b}_1] \subseteq \mathbb{R}^n$ 은 $\mathbb{R}^n$ 의 1차원 부분공간이다. 이것은 직선이 지지점(support point) $\boldsymbol{x}_0$ 와 방향(direction)을 정의하는 벡터 $\boldsymbol{b}_1$ 에 의해 정의된다는 것을 의미한다. 그림 2.13에 예시가 나와 있다.

• $\mathbb{R}^n$ 의 2차원 아핀 부분공간은 평면(planes)이라 불린다. 평면에 대한 매개변수 방정식은 다음과 같다: $\boldsymbol{y} = \boldsymbol{x}_0 + \lambda_1 \boldsymbol{b}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{b}_2$ , 여기서 $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$ 이고 $U = \text{span}[\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2] \subseteq \mathbb{R}^n$ 이다. 이것은 평면이 지지점 $\boldsymbol{x}_0$ 와 방향 공간을 생성하는 두 개의 선형 독립인 벡터 $\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2$ 에 의해 정의된다는 것을 의미한다.

• $\mathbb{R}^n$ 에서, $(n-1)$ 차원 아핀 부분공간은 초평면(hyperplanes)이라 불리며, 대응하는 매개변수 방정식은 다음과 같다: $\boldsymbol{y} = \boldsymbol{x}_0 + \sum_{i=1}^{n-1} \lambda_i \boldsymbol{b}_i$ , 여기서 $\boldsymbol{b}_1, \dots, \boldsymbol{b}_{n-1}$ 은 $\mathbb{R}^n$ 의 $(n-1)$ 차원 부분공간 $U$ 의 기저를 형성한다. 이것은 초평면이 지지점 $\boldsymbol{x}_0$ 와 방향 공간을 생성하는 $(n-1)$ 개의 선형 독립인 벡터 $\boldsymbol{b}_1, \dots, \boldsymbol{b}_{n-1}$ 에 의해 정의된다는 것을 의미한다. $\mathbb{R}^2$ 에서 직선은 초평면이기도 하다. $\mathbb{R}^3$ 에서 평면은 초평면이기도 하다.

그림 2.13. 직선은 아핀 부분공간이다. 직선 $\boldsymbol{x}_0 + \lambda \boldsymbol{b}_1$ 위의 벡터 $\boldsymbol{y}$ 는 지지점 $\boldsymbol{x}_0$ 와 방향 $\boldsymbol{b}_1$ 을 가진 아핀 부분공간 $L$ 안에 놓여 있다.

$\to$ 기하학적으로 초평면은 전체 공간을 정확히 두 개의 구역으로 분할할 수 있는 공간이다. 다른 말로, 여차원(codimension)이 1인 아핀 부분공간이다. 이는 공간의 ‘양분’을 의미한다.

$\to$ 비동차 선형 연립방정식 $A\boldsymbol{\lambda} = \boldsymbol{x}$ 의 해가 존재한다고 가정해보자. 이 방정식의 특수해를 $\boldsymbol{\lambda}_0$ 라고 할 때, 일반해는 다음과 같다.

$\boldsymbol{\lambda}_h$ 는 우변이 0인 동차 방정식 $A\boldsymbol{\lambda}_h = \boldsymbol{0}$ 의 해집합이며, 이는 행렬 $A$ 의 영공간(커널)이다.

이 형태는 아핀 공간의 정의( $\boldsymbol{x}_0 + U$ )와 동일하며, 해당 아핀 부분공간의 차원은 랭크-널리티 정리에 의해 다음과 같이 정의된다.

정의역의 차원은 $n$ 이고 치역은 행렬 $A$ 의 랭크와 같으므로

정의 2.26 (아핀 사상, Affine Mapping). 두 벡터 공간 $V, W$ 와 선형 사상 $\Phi : V \to W$ , 그리고 $\boldsymbol{a} \in W$ 에 대하여, 다음 사상

은 $V$ 에서 $W$ 로 가는 아핀 사상이다. 벡터 $a$ 는 $\phi$ 의 평행이동 벡터(translation vector)라고 불린다.

$\to$ 위 식을 다르게 표현하면 다음과 같다.

입력 벡터 x에 어떤 변환 행렬(사상)을 곱하여( $\Phi(\boldsymbol{x})$ ) 선형적인 변환을 적용한다. 이는 모두 원점이 보존되는 벡터 공간 안에서 발생한다. 이후 $\Phi(\boldsymbol{x})$ 의 결과에 상수 벡터 $\boldsymbol{a}$ 를 더하여 사상이 적용된 공간 전체를 평행 이동시킨다.