연습문제

2.1 우리는 $(\mathbb{R}\setminus{-1}, \star)$ 을 고려한다. 여기서 연산은 다음과 같이 정의된다:

a. $(\mathbb{R}\setminus{-1}, \star)$ 이 아벨 군(Abelian group)임을 보여라.
b. 아벨 군 $(\mathbb{R}\setminus{-1}, \star)$ 에서 다음 식을 풀어라. 여기서 $\star$ 는 (2.134)에 정의된 것이다.

풀이
a. 아벨 군임을 증명
아벨 군이 되기 위해서는 5가지 성질(닫혀있음, 결합법칙, 항등원, 역원, 교환법칙)을 만족해야 합니다.

1. 닫혀있음 (Closure):
   $a, b \neq -1$ 일 때 $a \star b \neq -1$ 임을 보여야 합니다.
   만약 $a \star b = -1$ 이라고 가정하면,
   $ab + a + b = -1$
   $ab + a + b + 1 = 0$
   $(a+1)(b+1) = 0$
   이 식이 성립하려면 $a=-1$ 또는 $b=-1$ 이어야 하는데, 이는 전제 조건( $a, b \in \mathbb{R}\setminus{-1}$ )에 모순됩니다. 따라서 $a \star b \neq -1$ 이며 연산은 닫혀있습니다.

2. 결합법칙 (Associativity):
   $(a \star b) \star c = a \star (b \star c)$ 임을 확인합니다.
   좌변: $(ab+a+b) \star c = (ab+a+b)c + (ab+a+b) + c = abc + ac + bc + ab + a + b + c$
   우변: $a \star (bc+b+c) = a(bc+b+c) + a + (bc+b+c) = abc + ab + ac + a + bc + b + c$
   좌변과 우변이 같으므로 성립합니다.

3. 항등원 (Neutral Element):
   $a \star e = a$ 를 만족하는 $e$ 를 찾습니다.
   $ae + a + e = a$
   $ae + e = 0$
   $e(a+1) = 0$
   $a \neq -1$ 이므로 $a+1 \neq 0$ 입니다. 따라서 $e=0$ 이어야 합니다. $0$ 은 집합 $\mathbb{R}\setminus{-1}$ 에 포함되므로 항등원은 $0$ 입니다.

4. 역원 (Inverse Element):
   $a \star b = e = 0$ 을 만족하는 $b$ 를 찾습니다.
   $ab + a + b = 0$
   $b(a+1) = -a$
   $b = -\frac{a}{a+1}$
   여기서 $a \neq -1$ 이므로 분모는 0이 아닙니다. 또한 $b = -1$ 인지 확인해보면, $-a = -(a+1) \implies -a = -a-1 \implies 0 = -1$ (모순)이므로 $b \neq -1$ 입니다. 따라서 역원이 존재합니다.

5. 교환법칙 (Commutativity):
   $a \star b = ab + a + b$ 이고 $b \star a = ba + b + a$ 입니다.
   실수의 덧셈과 곱셈은 교환법칙이 성립하므로 두 식은 같습니다.

결론적으로, 이 집합과 연산은 아벨 군입니다.

b. 방정식 풀이
주어진 식: $3 \star x \star x = 15$
먼저 연산의 순서대로 계산합니다.

1. $3 \star x$ 계산:
   $3 \star x = 3x + 3 + x = 4x + 3$

2. $(3 \star x) \star x$ 계산:
   $(4x + 3) \star x = (4x+3)x + (4x+3) + x$
   $= 4x^2 + 3x + 4x + 3 + x$
   $= 4x^2 + 8x + 3$

3. 방정식 풀기:
   $4x^2 + 8x + 3 = 15$
   $4x^2 + 8x - 12 = 0$
   양변을 4로 나누면,
   $x^2 + 2x - 3 = 0$
   $(x+3)(x-1) = 0$
   따라서 $x = 1$ 또는 $x = -3$ .
   두 값 모두 $-1$ 이 아니므로 집합에 포함됩니다.

답: $x = 1$ 또는 $x = -3$

2.2 $n \in \mathbb{N}\setminus{0}$ 이라 하자. $k, x$ 는 정수( $\mathbb{Z}$ )이다. 우리는 정수 $k$ 의 합동류(congruence class) $\bar{k}$ 를 다음과 같은 집합으로 정의한다:

우리는 이제 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (때때로 $\mathbb{Z}_n$ 으로 표기됨)를 법(modulo) $n$ 에 대한 모든 합동류의 집합으로 정의한다. 유클리드 나눗셈은 이 집합이 $n$ 개의 원소를 포함하는 유한 집합임을 암시한다:

모든 $\bar{a}, \bar{b} \in \mathbb{Z}_n$ 에 대하여, 우리는 다음을 정의한다:

a. $(\mathbb{Z}_n, \oplus)$ 가 군임을 보여라. 이것은 아벨 군인가?
b. 우리는 이제 $\mathbb{Z}_n$ 의 모든 $\bar{a}$ 와 $\bar{b}$ 에 대하여 또 다른 연산 $\otimes$ 를 정의한다:

여기서 $a \times b$ 는 $\mathbb{Z}$ 에서의 일반적인 곱셈을 나타낸다.
$n=5$ 라 하자. $\mathbb{Z}_5\setminus{\bar{0}}$ 원소들의 $\otimes$ 연산에 대한 곱셈표(times table)를 그려라. 즉, $\mathbb{Z}_5\setminus{\bar{0}}$ 의 모든 $\bar{a}$ 와 $\bar{b}$ 에 대해 곱 $\bar{a} \otimes \bar{b}$ 를 계산하라.
이를 통해, $\mathbb{Z}_5\setminus{\bar{0}}$ 가 $\otimes$ 에 대해 닫혀 있으며 $\otimes$ 에 대한 항등원을 가짐을 보여라. $\otimes$ 에 대한 $\mathbb{Z}_5\setminus{\bar{0}}$ 의 모든 원소의 역원을 보여라. $(\mathbb{Z}_5\setminus{\bar{0}}, \otimes)$ 가 아벨 군이라고 결론지어라.
c. $(\mathbb{Z}_8\setminus{\bar{0}}, \otimes)$ 가 군이 아님을 보여라.
d. 베주 항등식(Bézout theorem)은 두 정수 $a$ 와 $b$ 가 서로소(즉, $\gcd(a, b)=1$ )일 필요충분조건은 $au + bv = 1$ 이 되는 두 정수 $u$ 와 $v$ 가 존재하는 것이라고 말한다. $(\mathbb{Z}_n\setminus{\bar{0}}, \otimes)$ 가 군이 될 필요충분조건은 $n \in \mathbb{N}\setminus{0}$ 이 소수(prime)인 경우임을 보여라.

풀이
a. 덧셈군 증명

1. 닫혀있음: 정수의 합은 정수이며, 이를 $n$ 으로 나눈 나머지는 다시 $\mathbb{Z}_n$ 안에 있다.
2. 결합법칙: 정수의 덧셈은 결합법칙이 성립하므로, 합동류의 덧셈도 성립한다. $(\bar{a} \oplus \bar{b}) \oplus \bar{c} = \overline{(a+b)+c} = \overline{a+(b+c)} = \bar{a} \oplus (\bar{b} \oplus \bar{c})$ .
3. 항등원: $\bar{a} \oplus \bar{0} = \overline{a+0} = \bar{a}$ . 따라서 항등원은 $\bar{0}$ 이다.
4. 역원: 각 $\bar{a}$ 에 대해, $\bar{a} \oplus \overline{n-a} = \overline{a+n-a} = \bar{n} = \bar{0}$ . 따라서 역원은 $\overline{n-a}$ 이다. (만약 $a=0$ 이면 역원은 $\bar{0}$ ).
5. 아벨 군 여부: 정수의 덧셈은 교환 가능하므로 $\bar{a} \oplus \bar{b} = \overline{a+b} = \overline{b+a} = \bar{b} \oplus \bar{a}$ 이다.
   결론: $(\mathbb{Z}_n, \oplus)$ 는 아벨 군이다.

b. $n=5$ 일 때 곱셈군 확인**
집합: ${\bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}}$
곱셈표:

| ⊗ | 1ˉ | 2ˉ | 3ˉ | 4ˉ |
| ————- | ——— | ——— | ——— | ——— |
| ** $\bar{1}$ ** | $\bar{1}$ | $\bar{2}$ | $\bar{3}$ | $\bar{4}$ |
| ** $\bar{2}$ ** | $\bar{2}$ | $\bar{4}$ | $\bar{1}$ | $\bar{3}$ |
| ** $\bar{3}$ ** | $\bar{3}$ | $\bar{1}$ | $\bar{4}$ | $\bar{2}$ |
| ** $\bar{4}$ ** | $\bar{4}$ | $\bar{3}$ | $\bar{2}$ | $\bar{1}$ |

• 닫혀있음: 표의 모든 결과값이 집합 ${\bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}}$ 안에 존재한다 ( $\bar{0}$ 이 나오지 않음).
• 항등원: 첫 번째 행과 열을 보면 $\bar{1}$ 과 연산했을 때 자기 자신이 나오므로 항등원은 $\bar{1}$ 이다.
• 역원: 결과가 $\bar{1}$ 이 되는 짝을 찾는다.
  • $\bar{1}$ 의 역원: $\bar{1}$ ( $1 \times 1 = 1$ )
  • $\bar{2}$ 의 역원: $\bar{3}$ ( $2 \times 3 = 6 \equiv 1$ )
  • $\bar{3}$ 의 역원: $\bar{2}$ ( $3 \times 2 = 6 \equiv 1$ )
  • $\bar{4}$ 의 역원: $\bar{4}$ ( $4 \times 4 = 16 \equiv 1$ )
• 교환법칙: 표가 대각선을 기준으로 대칭이므로 성립한다.

결론: $(\mathbb{Z}_5\setminus{\bar{0}}, \otimes)$ 는 아벨 군이다.
c. $n=8$ 일 때 반례
집합은 ${\bar{1}, \dots, \bar{7}}$ 이다.
$\bar{2}$ 와 $\bar{4}$ 를 선택하여 연산해본다.
$\bar{2} \otimes \bar{4} = \overline{2 \times 4} = \bar{8} = \bar{0}$
연산의 결과인 $\bar{0}$ 이 집합 $(\mathbb{Z}_8\setminus{\bar{0}})$ 에 포함되지 않는다.
따라서 닫혀있지 않으므로(Not closed), 군이 아니다. (이를 영인자(Zero divisor)가 존재한다고 한다.)

d. 소수 조건 증명
우리는 $(\mathbb{Z}_n\setminus{\bar{0}}, \otimes)$ 가 군이 되기 위한 조건이 $n$ 이 소수인 것임을 보여야 한다.

1. 닫혀있음과 영인자:
   군이 되려면 $\bar{0}$ 이 나오면 안 된다. 즉, $\bar{a} \otimes \bar{b} = \bar{0}$ 인 $\bar{a}, \bar{b} \neq \bar{0}$ 가 없어야 한다.
   $ab \equiv 0 \pmod n$ 인데 $a, b$ 가 $n$ 의 배수가 아니라는 뜻은, $n$ 이 합성수일 경우(예: $n=ab$ ) 항상 성립한다. 따라서 $n$ 이 소수여야만 두 수의 곱이 $n$ 의 배수가 되는 것을 막을 수 있다(유클리드의 보조정리). 즉, $n$ 이 소수이면 닫혀있다.
2. 역원의 존재 (베주 항등식 이용):
   임의의 원소 $\bar{a} \in \mathbb{Z}_n\setminus{\bar{0}}$ 에 대해 역원이 존재해야 한다.
   즉, $\bar{a} \otimes \bar{x} = \bar{1}$ 인 $\bar{x}$ 가 있어야 한다.
   이는 합동식 $ax \equiv 1 \pmod n$ 의 해가 존재한다는 뜻이다.
   $ax - 1 = ny$ (어떤 정수 $y$ 에 대해)로 쓸 수 있으므로, $ax - ny = 1$ 이다.
   베주 항등식에 따르면, $ax + n(-y) = 1$ 이 해를 가지려면 $\gcd(a, n) = 1$ 이어야 한다.
   $\mathbb{Z}_n\setminus{\bar{0}}$ 의 모든 원소 $a$ (즉, $1 \le a < n$ )에 대해 $\gcd(a, n)=1$ 이 성립하려면, $n$ 은 자신보다 작은 모든 수와 서로소여야 한다. 이것이 바로 소수(Prime)의 정의이다.

결론: 닫혀있고 역원이 존재하기 위해서는 $n$ 이 소수여야 한다. $n$ 이 소수이면 $\mathbb{Z}_p\setminus{\bar{0}}$ 는 아벨 군(이를 곱셈군 $\mathbb{Z}_p^\times$ 라 부름)이 된다.