행렬의 계통도

2장과 3장에서, 우리는 선형대수와 해석기하학의 기초를 다뤘다. 이번 장에서, 우리는 행렬과 선형 변환의 근본적인 특성들을 살펴보았다.

그림 4.13은 다양한 유형의 행렬들 사이의 관계를 나타내는 계통수를 묘사한다(검은 화살표는 ‘부분집합임’을 나타내고 파란색은 우리가 행렬에 수행할 수 있는 다루어진 연산들을 나타낸다). 우리는 모든 실수 행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times m}$ 을 고려한다. 비정방 행렬들(여기서 $n \neq m$ )에 대해서는, 우리가 이번 장에서 보았듯이 SVD가 항상 존재한다. 정방 행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 에 초점을 맞추면, 행렬식(determinant)은 우리에게 정방 행렬이 역행렬을 가지는지, 즉 그것이 정칙(regular), 가역(invertible) 행렬들의 클래스에 속하는지를 알려준다. 만약 $n \times n$ 정방 행렬이 $n$ 개의 선형 독립인 고유벡터들을 가진다면, 그 행렬은 결함이 없고(non-defective) 고유값 분해가 존재한다(정리 4.12). 우리는 중복된 고유값들이 대각화될 수 없는 결함 있는(defective) 행렬들을 초래할 수 있다는 것을 안다.
$\quad$ 비특이(Non-singular) 행렬과 결함이 없는(non-defective) 행렬은 같지 않다. 예를 들어, 회전 행렬은 가역적이지만(행렬식이 0이 아님) 실수 범위에서 대각화 가능하지는 않다(고유값들이 실수임이 보장되지 않음).
$\quad$ 우리는 결함이 없는 정방 $n \times n$ 행렬들의 가지(branch)로 더 깊이 들어간다. 만약 조건 $A^\top A = A A^\top$ 이 성립하면 $A$ 는 정규(normal) 행렬이다. 게다가, 만약 더 제한적인 조건인 $A^\top A = A A^\top = I$ 가 성립하면, $A$ 는 직교(orthogonal) 행렬이라고 불린다(정의 3.8 참조). 직교 행렬들의 집합은 정칙(가역) 행렬들의 부분집합이며 $A^\top = A^{-1}$ 를 만족한다.
$\quad$ 정규 행렬들은 자주 마주치는 부분집합인 대칭 행렬 $S \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 을 가지는데, 이는 $S = S^\top$ 를 만족한다. 대칭 행렬들은 오직 실수 고유값들만 가진다. 대칭 행렬들의 한 부분집합은 모든 $x \in \mathbb{R}^n \setminus {0}$ 에 대해 $x^\top P x > 0$ 조건을 만족하는 양의 정부호 행렬 $P$ 로 구성된다. 이 경우, 유일한 숄레스키 분해가 존재한다(정리 4.18). 양의 정부호 행렬들은 오직 양수 고유값들만 가지며 항상 가역적이다(즉, 0이 아닌 행렬식을 가진다).
$\quad$ 대칭 행렬들의 또 다른 부분집합은 대각 행렬 $D$ 로 구성된다. 대각 행렬들은 곱셈과 덧셈에 대해 닫혀 있지만, 반드시 군(group)을 형성하는 것은 아니다(이는 모든 대각 성분이 0이 아니어서 행렬이 가역적일 때만 해당된다). 특수한 대각 행렬은 항등 행렬 $I$ 이다.