직교 여공간

직교성을 정의했으므로, 이제 우리는 서로 직교하는 벡터 공간들을 살펴볼 것이다. 이것은 10장에서 우리가 기하학적 관점에서 선형 차원 축소를 논의할 때 중요한 역할을 할 것이다.
$\quad$$D $차원 벡터 공간$ V $와$ M $차원 부분 공간$ U \subseteq V $를 고려하자. 그러면$ U $의 직교 여공간(orthogonal complement)$ U^\perp $는$ V $의$ (D-M) $차원 부분 공간이며,$ U $에 있는 모든 벡터와 직교하는$ V $의 모든 벡터를 포함한다. 게다가,$ U \cap U^\perp = {0} $이므로$ V $에 속한 임의의 벡터$ x$는 다음과 같이 유일하게 분해(uniquely decomposed)될 수 있다:

여기서 $(b_1, \dots, b_M)$ 은 $U$ 의 기저이고, $(b_1^\perp, \dots, b_{D-M}^\perp)$ 은 $U^\perp$ 의 기저이다.

$\quad$ 따라서, 직교 여공간은 3차원 벡터 공간에서 평면 $U$ (2차원 부분 공간)를 기술하는 데 사용될 수도 있다. 더 구체적으로, 평면 $U$ 와 직교하며 길이가 $\Vert w\Vert =1$ 인 벡터 $w$ 는 $U^\perp$ 의 기저 벡터이다. 그림 3.7은 이 설정을 묘사한다. $w$ 와 직교하는 모든 벡터는 (구조적으로) 평면 $U$ 안에 놓여야 한다. 벡터 $w$ 는 $U$ 의 법선 벡터(normal vector)라고 불린다.

그림 3.7 3차원 벡터 공간 내의 평면 $U$ 는 그것의 법선 벡터(normal vector)에 의해 기술될 수 있으며, 이 법선 벡터는 직교 여공간 $U^\perp$ 를 생성(span)한다.
$\quad$ 일반적으로, 직교 여공간은 $n$ 차원 벡터 공간과 아핀 공간에서 초평면(hyperplanes)을 기술하는 데 사용될 수 있다.