일변수 함수의 미분

다음 절에서는 고등학교 수학 시간에 접했을 법한 일변수 함수의 미분 개념을 간략히 되짚어 본다. 우선 일변수 함수 $y = f(x), x, y \in \mathbb{R}$ 의 차분 몫(difference quotient)부터 살펴보자. 이를 이용해 미분(derivative)을 정의하게 될 것이다.

정의 5.1 (차분 몫). 차분 몫은 함수 $f$ 의 그래프 위에 있는 두 점을 지나는 할선(secant line)의 기울기를 계산하며, 다음과 같이 정의된다.

$$ \frac{\delta y}{\delta x} := \frac{f(x + \delta x) - f(x)}{\delta x} \quad (5.3) $$

그림 5.3에서 이 두 점은 $x$ 좌표가 각각 $x_0$ 와 $x_0 + \delta x$ 인 점들에 해당한다.

figure 5.3.png

$\to$ 그림 5.3은 $x_0$ 와 $x_0 + \delta x$ 사이의 함수 $f$ 의 평균 기울기가 $f(x_0)$ 와 $f(x_0 + \delta x)$ 를 지나는 할선(secant, 파란색)의 기울기이며, 이는 $\delta y / \delta x$ 로 주어진다는 것을 보여준다.

$\quad$ 차분 몫은 $f$ 가 선형 함수라고 가정했을 때, $x$ 와 $x + \delta x$ 사이에서 $f$ 의 평균 기울기(average slope)로 간주할 수도 있다. 만약 $f$ 가 미분 가능하다면, $\delta x \rightarrow 0$ 인 극한에서 우리는 $x$ 에서의 $f$ 의 접선(tangent)을 얻게 된다. 이 접선이 바로 $x$ 에서의 $f$ 의 미분이다.

정의 5.2 (미분). 더 엄밀하게 말해서, $h > 0$ 일 때 $x$ 에서의 $f$ 의 미분은 다음 극한으로 정의된다.

$$ \frac{df}{dx} := \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}, \quad (5.4) $$

이때 그림 5.3의 할선은 접선이 된다.

$\quad$ $f$ 의 미분은 $f$ 의 가장 가파른 상승(steepest ascent) 방향을 가리킨다.

예제 5.2 (다항식의 미분)

우리는 $f(x) = x^n, n \in \mathbb{N}$ 의 미분을 계산하고자 한다. 이미 정답이 $nx^{n-1}$ 이라는 것을 알고 있을 수도 있지만, 여기서는 차분 몫의 극한이라는 미분의 정의를 사용하여 이 결과를 유도해 보고자 한다.

$\quad$ 미분의 정의 (5.4)를 사용하면 다음을 얻는다.

$$ \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \quad (5.5a) $$
$$ = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^n - x^n}{h} \quad (5.5b) $$
$$ = \lim_{h \to 0} \frac{\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} x^{n-i} h^i - x^n}{h} \quad (5.5c) $$

여기서 $x^n = \binom{n}{0}x^{n-0}h^0$ 임을 알 수 있다. 합(sum)을 1부터 시작하면 $x^n$ 항이 상쇄되어 다음을 얻는다.

$$ \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{i} x^{n-i} h^i}{h} \quad (5.6a) $$
$$ = \lim_{h \to 0} \sum_{i=1}^{n} \binom{n}{i} x^{n-i} h^{i-1} \quad (5.6b) $$
$$ = \lim_{h \to 0} \left( \binom{n}{1} x^{n-1} + \underbrace{\sum_{i=2}^{n} \binom{n}{i} x^{n-i} h^{i-1}}_{\rightarrow 0 \text{ as } h \to 0} \right) \quad (5.6c) $$
$$ = \frac{n!}{1!(n-1)!}x^{n-1} = nx^{n-1}. \quad (5.6d) $$

$\to$ 예제 5.2에 표기된 기호 $\binom{n}{i}$ 는 이항 계수 또는 조합( ${}_nC_i$ )이라고 부른다.

$$ \binom{n}{i} = \frac{n!}{i!(n-i)!} $$

$(x+h)^n$ 이라는 식은 괄호가 $n$ 개 곱해져 있다는 뜻이다.

$$ (x+h)(x+h)(x+h) \cdots (x+h) $$

간단한 예로 $(x+h)^3$ 의 경우 $(x+h)(x+h)(x+h)$ 로 풀어 쓸 수 있다. 이때 전개된 각 항과 계수를 직접 계산하여 구할 수도 있지만 다음과 같이 표현할 수도 있다.

$$ (x+h)^3 = \sum_{i=0}^3 \binom{3}{i} x^{3-i}h^i $$

각 항은 $3$ 개의 괄호 중에서 $h$ 를 $i$ 개 뽑는 경우의 수를 계수로 가지게 된다.

$$ = \binom{3}{0}x^3 h^0 + \binom{3}{1}x^2h^1 + \binom{3}{2}x^1h^2 + \binom{3}{3}x^0 h^3 $$
$$ = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 $$

이를 일반화하면 다음과 같다:

$$ \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} x^{n-i} h^i = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots $$

5.1.1 테일러 급수

테일러 급수는 함수 $f$ 를 항들의 무한한 합으로 표현한 것이다. 이러한 항들은 $x_0$ 에서 평가된 $f$ 의 미분값들을 사용하여 결정된다.

정의 5.3 (테일러 다항식). $x_0$ 에서의 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 의 $n$ 차 테일러 다항식은 다음과 같이 정의된다.

$$ T_n(x) := \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k, \quad (5.7) $$

여기서 $f^{(k)}(x_0)$ 는 $x_0$ 에서의 $f$ 의 $k$ 번째 미분(존재한다고 가정함)이고, $\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$ 는 다항식의 계수들이다.

정의 5.4 (테일러 급수). 매끄러운 함수 $f \in C^\infty, f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 에 대하여, $x_0$ 에서의 $f$ 의 테일러 급수는 다음과 같이 정의된다.

$$ T_{\infty}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k. \quad (5.8) $$

$x_0 = 0$ 인 경우, 우리는 테일러 급수의 특수한 사례로서 매클로린 급수(Maclaurin series)를 얻는다. 만약 $f(x) = T_{\infty}(x)$ 라면, $f$ 는 해석적(analytic)이라고 불린다.

참고. 일반적으로, $n$ 차 테일러 다항식은 함수의 근사(approximation)이며, 함수 자체가 다항식일 필요는 없다. 테일러 다항식은 $x_0$ 주변의 이웃(neighborhood)에서 $f$ 와 유사하다. 하지만, 차수 $k \le n$ 인 다항식 $f$ 의 경우, $i > k$ 인 모든 미분값 $f^{(i)}$ 가 0이 되어 사라지므로(vanish), $n$ 차 테일러 다항식은 $f$ 의 정확한 표현이 된다.

$\to$ $n$ 차 테일러 다항식은 기준점( $x_0$ ) 근처에서 원 함수와 비슷하며 멀어질수록 오차가 커진다. 만약 원 함수가 유한 다항식인 경우, 테일러 다항식은 임의의 기준점에 대해 원 함수를 완벽하게 복원한다.

예제 5.3 (테일러 다항식)

우리는 다음 다항식을 고려한다.

$$ f(x) = x^4 \quad (5.9) $$

그리고 $x_0 = 1$ 에서 평가된 테일러 다항식 $T_6$ 를 구하고자 한다. 우리는 $k = 0, \dots, 6$ 에 대한 계수 $f^{(k)}(1)$ 을 계산하는 것으로 시작한다.

$$ f(1) = 1 $$
$$ f'(1) = 4 $$
$$ f''(1) = 12 $$
$$ f^{(3)}(1) = 24 $$
$$ f^{(4)}(1) = 24 $$
$$ f^{(5)}(1) = 0 $$
$$ f^{(6)}(1) = 0 $$

따라서, 우리가 찾는 테일러 다항식은 다음과 같다.

$$ T_6(x) = \sum_{k=0}^{6} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k \quad (5.17a) $$
$$ = 1 + 4(x - 1) + 6(x - 1)^2 + 4(x - 1)^3 + (x - 1)^4 + 0. \quad (5.17b) $$

이를 전개하고 재정렬하면 다음을 얻는다.

$$ T_6(x) = (1 - 4 + 6 - 4 + 1) + x(4 - 12 + 12 - 4) + x^2(6 - 12 + 6) + x^3(4 - 4) + x^4 \quad (5.18a) $$
$$ = x^4 = f(x), \quad (5.18b) $$

즉, 우리는 원래 함수의 정확한 표현(exact representation)을 얻게 된다.

예제 5.4 (테일러 급수)

그림 5.4에 주어진 다음 함수를 고려해 보자.

figure 5.4.png

(그림 5.4: $x_0 = 0$ 주변에서 테일러 다항식(점선)이 원래 함수 $f(x) = \sin(x) + \cos (x)$ (검은 실선)를 근사한다. 고차원 테일러 다항식은 함수 $f$ 를 더 잘, 그리고 더 전역적으로(globally) 근사한다. $T_{10}$ 은 $[-4, 4]$ 구간에서 이미 $f$ 와 유사하다.).

$$ f(x) = \sin(x) + \cos(x) \in C^\infty . \quad (5.19) $$

우리는 $x_0 = 0$ 에서의 $f$ 의 테일러 급수 전개를 찾고자 하는데, 이는 $f$ 의 매클로린 급수 전개이다. 우리는 다음과 같은 미분값들을 얻는다.

$$ f(0) = \sin(0) + \cos(0) = 1 $$
$$ f'(0) = \cos(0) - \sin(0) = 1 $$
$$ f''(0) = -\sin(0) - \cos(0) = -1 $$
$$ f^{(3)}(0) = -\cos(0) + \sin(0) = -1 $$
$$ f^{(4)}(0) = \sin(0) + \cos(0) = f(0) = 1 $$

여기서 우리는 패턴을 볼 수 있다: 테일러 급수의 계수들은 오직 $\pm 1$ 이며( $\sin(0)=0$ 이기 때문), 부호가 다른 것으로 바뀌기 전에 각각 두 번씩 등장한다. 게다가 $f^{(k+4)}(0) = f^{(k)}(0)$ 이다.

따라서, $x_0 = 0$ 에서 $f$ 의 전체 테일러 급수 전개는 다음과 같이 주어진다.

$$ T_{\infty}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k \quad (5.25a) $$
$$ = 1 + x - \frac{1}{2!}x^2 - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5 - \cdots \quad (5.25b) $$
$$ = 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 \mp \cdots + x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 \mp \cdots \quad (5.25c) $$
$$ = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{1}{(2k)!} x^{2k} + \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{1}{(2k+1)!} x^{2k+1} \quad (5.25d) $$
$$ = \cos(x) + \sin(x), \quad (5.25e) $$

여기서 우리는 다음과 같은 멱급수(power series) 표현을 사용했다.

$$ \cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{1}{(2k)!} x^{2k}, \quad (5.26) $$
$$ \sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{1}{(2k+1)!} x^{2k+1}. \quad (5.27) $$

그림 5.4는 $n = 0, 1, 5, 10$ 에 대해 이에 대응하는 첫 테일러 다항식들 $T_n$ 을 보여준다.

참고. 테일러 급수는 멱급수( $x$ 의 거듭제곱( $x^k$ )들의 합으로 이루어진 무한 급수)의 특수한 경우이다.

$$ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k (x - c)^k \quad (5.28) $$

여기서 $a_k$ 는 계수이고 $c$ 는 상수인데, 정의 5.4의 특수한 형태를 가진다.

5.1.2 미분 규칙

다음은 기본적인 미분 규칙들을 간략히 정리한 것으로, 여기서 $f$ 의 미분은 $f’$ 으로 표기한다.
곱의 미분 (Product rule):

$$ (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \quad (5.29) $$

몫의 미분 (Quotient rule):

$$ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \quad (5.30) $$

합의 미분 (Sum rule):

$$ (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) \quad (5.31) $$

연쇄 법칙 (Chain rule):

$$ (g(f(x)))' = (g \circ f)'(x) = g'(f(x))f'(x) \quad (5.32) $$

여기서 $g \circ f$ 는 $x \mapsto f(x) \mapsto g(f(x))$ 인 함수 합성을 나타낸다.

예제 5.5 (연쇄 법칙)

연쇄 법칙을 사용하여 함수 $h(x) = (2x+1)^4$ 의 미분을 계산해 보자. 다음과 같이 설정하면,

$$ h(x) = (2x+1)^4 = g(f(x)), \quad (5.33) $$
$$ f(x) = 2x + 1, \quad (5.34) $$
$$ g(f) = f^4, \quad (5.35) $$

$f$ 와 $g$ 의 미분은 다음과 같이 얻어진다.

$$ f'(x) = 2, \quad (5.36) $$
$$ g'(f) = 4f^3, \quad (5.37) $$

따라서 $h$ 의 미분은 다음과 같이 주어진다.

$$ h'(x) = g'(f)f'(x) = (4f^3) \cdot 2 \stackrel{(5.34)}{=} 4(2x+1)^3 \cdot 2 = 8(2x+1)^3, \quad (5.38) $$

여기서 우리는 연쇄 법칙 (5.32)를 사용했고, $g’(f)$ 자리에 (5.34)의 $f$ 정의를 대입했다.